Условия задач LIV белорусской республиканской математической олимпиады школьников

7 класс

1. Найдите наименьшее делящееся на 2004 число, в десятичной записи которого присутствует одно и то же количество нулей, двоек и четверок и нет никаких других цифр.
   
   Существует ли бесконечно много таких чисел?
   (Число не может начинатся с нуля.)
   
   
2. В каждой клетке квадратной таблицы n×n (n >=3) записано некоторое целое число. Оказалось, что сумма чисел в каждом квадрате 3×3 кратна 3, а сумма всех чисел в таблице не кратна 3.
   
   Найдите все n, при которых это возможно.
   
   
3. Дана доска 5×5. Какое наибольшее количество клеток можно закрасить так, чтобы ни одна закрашенная клетка не граничила по стороне более чем с одной закрашенной клеткой?
   
   
4. На классной доске отмечена точка А. Вася и Петя играют в следующую игру, делая ходы по очереди. На каждом ходу Вася проводит через точку А прямую, после чего Петя стирает одну из полупрямых (с началом в точке А) этой прямой. Вася выиграет, если после хода Пети угол между какими-то из оставшихся на доске полупрямых будет не менее 177°.
   
   
   1. Докажите, что Вася сможет выиграть (т.е. приведите правило, делая ходы согласно которому, Вася, независимо от игры Пети, добьется победы).
   2. Найдите наименьшее число ходов, которые понадобятся Васе, чтобы наверняка выиграть, как бы при этом ни играл Петя.
      
      
5. В республиканской олимпиаде по математике участвовало 25 семиклассников. Им было предложено для решения 8 задач. Задание олимпиады оказалось довольно сложным, так что любая задача была решена менее, чем половиной участников. При этом каждую задачу каждый участник олимпиады либо решил полностью, либо не решил совсем. Назовем участника олимпиады сильным, если он решил больше половины задач.
   
   Какое наибольшее число сильных участников могло оказаться по результатам олимпиады?
   
   
6. Незнайка придумал три различных натуральных числа и объявил, что если разделить любое из этих чисел на любое меньшее из них, то всякий раз остаток от деления будет совпадать с неполным числом.
   
   Докажите, что Незнайка ошибается.
   
   
7. У Васи и Пети имелось по выпуклому четырехугольнику, у Васи — красного цвета, а у Пети — синего. Четырехугольники Васи и Пети одинаковые (т.е. совмещаются некоторым наложением). Каждый из мальчиков разрезал свой четырехугольник по диагонали — получилось 2 красных и 2 синих треугольника. Оказалочь, что один красный и один синий треугольники равны.
   
   Докажите, что и два других треугольника тоже равны.
   
   
8. На листе клетчатой бумаги нарисован квадрат n×n клеток, стороны которого совпадают со сторонами клеток.
   
   При каких n можно нарисовать в этом квадрате некоторое число отрезков так, чтобы были выполнены следующие условия:
   1. центр каждой клетки является концом ровно одного отрезка;
   2. середина каждого отрезка совпадает с центром какой-нибудь клетки?

8 класс

1. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены соответственно точки N и К, так, что AN=NB и AK=2*KC. При этом оказалось, что FN перпендикулярна AB.
   
   Найдите NC, если известно, что СВ=8.
   
   
2. В каждой клетке квадратной таблицы n×n (n >=3) записано некоторое целое число. Оказалось, что сумма чисел в каждом квадрате 3×3 четная.
   
   При каких n из этого обязательно следует, что сумма всех чисел в таблице также является четной?
   
   
3. Докажите, что если ненулевые числа a м b удовлетворяют условию a²b+b²a=a²+b², то справедливо неравенство
   (a+2)²+, (b+2)²>=16.
   
   
4. На классной доске отмечена точка А. Вася и Петя играют в следующую игру, делая ходы по очереди. На каждом ходу Вася проводит через точку А прямую, после чего Петя стирает одну из полупрямых (с началом в точке А) этой прямой. Вася выиграет, если после хода Пети угол между какими-то из оставшихся на доске полупрямых будет в точности равен 178°.
   
   
   1. Докажите, что Вася сможет выиграть (т.е. приведите правило, делая ходы согласно которому, Вася, независимо от игры Пети, добьется победы).
   2. Найдите наименьшее число ходов, которые понадобятся Васе, чтобы наверняка выиграть, независимо от игры Пети.
      
      
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны, причем AC=KL=2, где K и L — середины сторон AB и CD соответственно.
   
   Найдите длину диагонали BD и угол между прямыми BD и KL.
6. На доске записан квадратный трехчлен x²+ax+b с целыми коэффициентами a и b. Сережа и Максим играют в такую игру.
   За один ход Сережа прибавляет к одному из коэффициентов a или b либо 1, либо -1, а Максим за свой ход прибавляет к одному из этих коээфициентов либо 2, либо -2. Сережа и Максим ходят по очереди. Максим выигрывает, если через некоторое время на доске окажется многочлен с целыми корнями.
   
   Докажите, что Максим всегда сможет выиграть независимо от того, кто ходит первым.
   
   
7. В Республиканской олимпиаде по математике участвовало 28 восьмиклассников. Им было предложено 8 задач. Задание олимпиады оказалось довольно сложным, так что любая задача была решена не более, чем половиной участников. По результатам олимпиады были награждены все участники, полностью решившие более половины всех задач. Задачу назовем доступной, если ее решило не менее одной трети не награжденных участников.
   
   Какое максимальное число участников могло быть награждено, если ровно семь из предложенных задач оказались доступными?
   
   
8. 1. В каждую клетку бесконечной в обе стороны клетчатой строки записано некоторое натуральное число, каждое — ровно один раз.
      
      Может ли оказаться, что числа в любых двух соседних клетках отличаются не более, чем на 2?
      
      
   2. На бесконечном во все стороны листе клетчатой бумаги в каждой клетке записано некоторое натуральное число, каждое — ровно один раз.
      
      Докажите, что найдутся две клетки с общей стороной, числа в которых отличаются больше, чем на 2004.

9 класс

1. В каждой клетке квадратной таблицы n×n (n >=3) записано некоторое целое число. Оказалось, что сумма чисел в любом квадрате 2×2 четная и сумма чисел в любом квадрате 3×3 также четная.
   
   При каких n из этого обязательно слежует, что сумма всех чисел в таблице является четной?
   
   
2. Последовательность действительных чисел (a_n), n>=1, такова, что
   a_n+1=a_n(a_n+2).
   для любого натурального n.
   
   Найдите множество всех значений, которые может принимать число a₂₀₀₄
   
   
3. Найдите все пары целых чисел (x, y), которые удовлетворяют равенству
   y²(x²+y²-2xy-x-y)=(x+y)²(x-y)
   
   
4. Пусть K, L, M и N – соответственно середины сторон AB, BC, CD И DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки NL и KM пересекаются в точке T. Пусть x — площадь четырехугольника DNTM а S — площадь четырехугольника ABCD.
   
   Докажите, что 8/3x < S < 8x.
   
   
5. На Республиканской олимпиаде по математике девятиклассникам было предложено 8 задач. Участника назовем сильным, если он полностью решил более половины всех задач. Задачу назовем трудной, если ее полностью решило меньше половины всех сильных участников.
   1. Какое наибольшее количество трудных задач могло оказаться в олимпиадном задании?
   2. При этом количестве трудных задач какое наименьшее четное число сильных участников могло оказаться по результатам олимпиады?
   
   
   
6. Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A параллельно их линии центров, пересекает S₁ второй раз в точке C, а S₂ — в точке D. Окружность S₃ с диаметром CD пересекает S₁ второй раз в точке P, а S₂ — в точке Q.
   
   Докажите, что прямые CP, DQ и AB пересекаются в одной точке.
   
   
7. Даны два подобных треугольника, причем высоты одного из них равны сторонам другого.
   
   Какое наибольшее значение может принимать коэффициент подобия (т.е. отношение сторон второго треугольника к сторонам первого)?
   
   
8. Упорядоченный набор a, состоящий из k цифр, назовем устойчивым, если произведение любых двух натуральных чисел, оканчивающихся на a, также оканчивается на a. (Например, наборы 0 или 25 — устойчивые.)
   
   Докажите, что для любого натурального k существует ровно четыре устойчивых набора, состоящих из k цифр.

10 класс

1. Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке О, лежащей внутри ABCDEF.
   
   Какую наименьшую площадь может иметь этот шестиугольник, если площади треугольников AOB, COD, EOF равны 1, 3, 9 соответственно?
   
   
2. В каждую клетку квадратной доски n×n (n>=5) вписано некоторое целое число. Оказалось, что сумма чисел в каждом квадрате 3×3 и сумма чисел в каждом квадрате 5×5 четна.
   
   Найдите все натуральные n, при которых из этого условия обязательно следует, что сумма чисел во всей таблице также будет четной.
   
   
3. Пусть a₀, a₁, a₂, ..., a_n — целые числа, не меньше -1, не все из которых равны нулю. Известно, что
   a₀+2a₁+2²a₂+ ... + 2ⁿa_n=0, n>=1.
   
   Докажите неравенство a₀+a₁+a₂+ ... + a_n > 0
   
   
4. 1. Докажите, что если натуральные числа a, b, c удовлетворяют уравнению
      c(ac+1)²=(5c+2b)(2c+b)
      и c нечетно, то c — квадрат натурального числа.
   2. Существует ли четное натуральное число c, удовлетворяющее для некоторых a и b данному уравнению?
   3. * Докажите, что данное уравнение имеет бесконечно много решений в тройках натуральных чисел a, b и c.
      
      
5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
   
   Докажите, что для его диагоналей AC и BD выполнено неравенство 8BD² =< 9AC², если для его сторон имеет место равенство AB*BC=2*AD*DC.
   
   
6. 1. Известно, что в плоскости выпуклого четырехугольника ABCD имеется точна X, такая что периметры трехугольников ABX, BCX, CDX и DAX равны.
      
      Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
      
      
   2. Верно ли, что если в выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность, то на плоскости существует точка X такая, что периметры трехугольников ABX, BCX, CDX и DAX равны между собой?
      
      
7. Учитель выписал на доске n>2 натуральных чисел, ни одно из которых не является делителем другого. Каждый ученик по очереди стер с доски число, делящее сумму всех еще не стертых чисел. В итоге на доске остались только два числа.
   
   Для любого ли n>2 такое могло быть?
   
   
8. На олимпиаде, в которой участвовало 30 школьников, было предложено 8 задач. Чтобы учесть сложность задач, жюри после проверки работ назначило баллы по задачам по следующему правилу: число баллов на задачу равно количеству участников, не решивших ее. (Если, например, задачу решили все, то за нее дается 0 баллов.) Каждый участник за задачу получил либо полный балл, либо 0 баллов.
   1. Мог ли участник, набравший больше всех баллов, решить меньше всех задач?
   2. * Мог ли участник, набравший меньше всех баллов, решить больше всех задач?